[CFA 파생상품] 55~57. Pricing and Valuation of Options, Put-Call Parity, Binomial Model

* 알아두어야할 단어

• exercise prcie = strick prcie (행사가격)
• breakeven point(BEP) - 손익분기점
• Moneyness(가격도) : 옵션 계약의 기초자산가격과 행사가격과의 관계를 의미
  
• lower bound(하한범위), upper bound(상한범위)
• parity (등가식, 항등식)
• Protective Put = Long S + Long Put
  
• Fiduciary Call = Long Call + Long risk-free bond
• Coverd Call = Long S + Short Call

 

LOS 55.a : exercise value, moneyness, time value of an option.

1. 옵션계약 (Options)
- 특정자산을 미래의 특정 시점 또는 그 이전에 약정된 가격으로 살 수 있는 권리(Call) 혹은 팔 수 있는 권리(Put)

2. 옵션의 구성항목 
 ① 기초자산(Underlying asset; S) : 권리행사 시 매수 또는 매도의 대상이 되는 특정자산
 ② 만기(Expiration date; T) : 권리를 행사할 수 있는 특정시점 혹은 일정기간의 마지막 날
 ③ 행사가격(Exercise price; X) : 권리를 행사할 때 적용되는 가격
 ④ 콜옵션(Call option; C) : 살 수 있는 권리,  풋옵션(Put option; P) : 팔 수 있는 권리
 ⑤ 옵션프리미엄(Option premium) : 옵션을 매입할 때 지불하는 비용 (권리이기 때문에 옵션을 매입할 때에는 비용이 발생)
 ⑥ 포지션(Position) : 투자자의 현재상태
   - 매입포지션(Long position) : 프리미엄을 지불하고, 옵션을 매입한 사람
   - 매도포지션(Short position) : 프리미엄을 받고, 옵션을 매도한 사람.
  
3. 옵션 vs. 선도계약의 비교

구분	Option Contracts	Forward Contracts
계약의 성격	- Long : 권리만 보유 - Short : 의무만 보유	- Long : 이행의무를 가짐 - Short : 이행의무를 가짐
초기비용	- 초기비용(initial cost)이 0이 아님(they do not have zero value at initiaion) Option premium이 들어감 (권리취득에 대한 비용)	- 초기비용(inital cost)=0

 

4. 풋옵션 vs 콜옵션

구분	롱포지션(Long)	숏포지션(Short)
콜옵션(call option)	- 기초자산을 살 수 있는 권리 보유 - 옵션의 행사여부를 선택할 수 있음 - 옵션 프리미엄 지불 * 기초자산 Long포지션(가격이 올라야 좋음) ▶ Payoff = Max[0, S-X] ▶ P/L = Max[0, S-X] - Premium ▶ BEP = X+Premium	- 옵션이 행사되는 경우, 기초자산을 팔아야할 의무가 있음. - 옵션 프리미엄 수령 * 기초자산 Short포지션(가격이 내려야 좋음) ▶ Payoff = - Max[0, S-X] ▶ P/L = - Max[0, S-X] + Premium ▶ BEP = X+Premium * Unlimited loss 가능
풋옵션(put option)	- 기초자산을 팔 수 있는 권리 보유 - 옵션의 행사여부를 선택할 수 있음 - 옵션 프리미엄 지불 * 기초자산 Short포지션(가격이 내려야 좋음) ▶ Payoff = Max[0, X-S] ▶ P/L = Max[0, X-S] - Premium ▶ BEP = X- Premium	-  옵션이 행사되는 경우, 기초자산을 매입해야할 의무가 있음. - 옵션 프리미엄 수령 * 기초자산 Long포지션(가격이 올라야 좋음) ▶ Payoff = - Max[0, X-S] ▶ P/L = - Max[0, X-S] + Premium ▶ BEP = X- Premium

- PUT 이랑 CALL이 손익이 zero sum이 아니라, 롱/숏 포지션이 zero sum (long call과 shor call의 손익이 zero sum) 
=> Long position과 Short position의 페이오프(payoff)는 정확히 반대!
=> 콜옵션과 풋옵션의 페이오프는 정반대가 아님 주의!

- A put option gives the buyer the right (but not the obligation) to sell underlying assets at a specified price (=the excercise price = strike price) & The put seller (=writer of the option) takes on the obligation to purchase the underlying assets at the price specified in the option, if the put buyer excercises the option.

- A call option gives the buyer the right (but not the obligation) to buy underlying assets at a specified price(the exercise price) & The call seller (writer) takes on the obligation to sell the underlying assets at the exercise price, if the call buyer exercises the option.
- Payoff : 옵션프리미엄(초기비용)을 고려하지 않은 개념. ** 옵션프리미엄은 t=0시점에서 발생한 매몰비용(sunken cost)로, t=T시점에서의 옵션의 행사여부에 영향을 주지 않음! (이미 돈을 만원 주고 복권을 샀다고 하자, 5천원이 당첨됐는데 당청금 수령을 안한다?이미 준 만원으로 손익은 -5천원이어도 무조건 당청금은 일단 수령해야지(매몰비용은 행사여부에 영향x)!)
- P/L(손익; Profit/Loss) = Payoff ± 옵션프리미엄

옵션의 Payoff

옵션의 profit & loss

 * The breakeven point(BEP) for the buyer and seller is the excercise price plus the premium.(X+P) (call)
** The breakeven point(BEP) for the buyer and seller is the excercise price minus the premium.(X-P) (put)

 

5. 행사방법에 따른 분류
  ① 유러피안 옵션 (European options) : 옵션의 만기(At expriation)에 한 번만 행사 가능
  ② 아메리칸 옵션 (Americal options) : 옵션의 만기일을 포함하여 언제든지(at anytime) 행사 가능 -> 한번 행사 하면, 옵션은 소멸
 
* 아메리칸 옵션 보유자의 선택권

• 유러피언 옵션 : 옵션을 만기에도 행사할 수 있음
• 조기행사 옵션 (Early excercise option) : 만기 이전에도 옵션을 행사할 수 있음.
  
• 아메리칸 옵션 보유자는 2가지 옵션을 모두 보유하고 있으므로, 2개의 옵션 중 큰 값이 아메리칸 옵션의 가치임.
  Americal option = Max [①European option, ②Early exercise option]
  ** American option value ≥ European option value
  
  

6. Moneyness(가격도) : 옵션 계약의 기초자산가격과 행사가격과의 관계를 의미(주가(S)와 행사가격(X)의 관계)

Moneyness	Call option	Put option
In-the-money(ITM)	S>X	S<X
At-the-moeny(ATM)	S=X	S=X
Out-of-the-money(OTM)	S<X	S>X

7. 옵션의 현재시점의 가치 

옵션의 가치 = 내재가치(Intrinsic value) + 시간가치(Time value)

 ① 옵션의 내재가치(Intrinsic value)
  - 현재 시점에서 옵션이 행사된다고 가정했을 때 얻게되는 가치 (=기초자산의 현재가격과 행사가격의 차이)
  

• 콜옵션의 내재가치 = Max[St-X, 0]
• 풋옵션의 내재가치 = Max[X-St, 0]
  

② 시간가치(Time value) : 옵션의 만기까지 기초자산 가격 변화에 따라 이익을 얻을 수 있는 가능성에 대한 가치
  * American은 시간가치가 양수지만, European은 Negative time value도 가능함 유의!!

   -  OTM에서 the price of option = time value (intrinsic value=o 이므로)

   -  ITM에서 the price of option > time value (intrinsic value>o 이므로)

8. ★ 옵션가격과 변수와의 관계★
- 옵션가격

구분	콜옵션 (Ct)		풋옵션(Pt)
	European	American	European	American
기초자산(St)	+	+	-	-
행사가격(X)	-	-	+	+
무위험수익률(Rf)	+	+	-	-
★ 변동성(σ) ★	+	+	+	+
잔존만기(T-t)	?	+	?	+
보유편익(Benefits)	-	-	+	+
보유비용(Costs)	+	+	-	-

* 변동성이 커질수록 행사할 가능성이 높아지므로, 콜옵션 풋옵션 가격이 높아진다는 것 유의하기!!

옵션의 t시점의 가격

9. 옵션가치와 잔존만기
  - 잔존만기가 길어지면, 일반적으로 옵션의 가치는 커진다. (Time value의 증가)
  * but, ① 배당주식에 대한 유러피언 콜옵션(배당으로 인한 배당락) , ② Deep ITM 유러피언 풋옵션 (업사이드의 제한)

   <콜옵션> 
    - 일반적으로는 잔존만기가 길수록 콜옵션의 가치가 커진다. (call option's upside potential : unlimited)
    - 배당이 지급되는 주식이 기초자산인 유러피언 콜옵션일 경우, 예외일 수 있음.

• 기초자산으로부터 배당금(Dividends)이 지급되는 경우
• 잔존만기 증가에 따른 옵션가치의 하락폭(배당락) > 시간가치의 상승폭
• 아메리칸 옵션의 경우 위의 상황이 예상된다면, 조기행사하면 되므로 유러피언 콜옵션에 한정됨.

 <풋옵션> 
    - 일반적으로는 잔존만기가 길수록 풋옵션의 가치가 커진다. (put option의 upside는 S=0인경우)
    - Deep ITM 유러피언 풋옵션의 경우에는 예외일 수 있음.

• Deep ITM인 경우 풋옵션의 Upside는 극히 제한적
• 이 경우 만기가 짧은 것이 유리할 수 있음. (만기가 길 경우, 주가가 다시 상승할 수도 있으므로)
   -> 행사가격 100, 주가 1인 경우  Upside potential은 1% 밖에 안됨.
• 아메리칸 풋옵션은 만기가 길수록 풋옵션의 가치가 커지고, Deep ITM이라면 풋옵션을 조기행사하면 된다.
  

 

10. 풋-콜 패러티 (Put-Call Parity) *Parity - 등가식, 항등식

 -  기초자산(S), 만기(T), 행사가격(X)이 동일한 유러피안 콜옵션과 풋옵션 가격 사이에 성립하는 일정한 관계식
 - ★ 유러피언 콜옵션과 풋옵션의 경우에만 성립한다!(아메리칸 옵션에는 성립하지 않음. 만기에서만 행사하는 경우를 가정하기때문)

Protective Put = Fiduciary Call
  Long S               Long C
+ Long Put         +Long X/(1+R)^(T)

 

• Protective Put (소유한 자산의 손실을 방지하기 위해 풋옵션을 매수하는 전략)
  - 기초자산(S)을 매입하고, 풋옵션(P)를 매수하는 포지션(Long S + Long P) 
  - 기초자산 가격 하락 위험을 헷지하기 위해 풋옵션을 매수하는 포지션
  
  
• Fiduciary Call (Protective Put 전략을 대체하는 전략)
   - 콜옵션(C)를 매수하고, 콜옵션 행사에 필요한 금액(=만기에 받는 금액이 행사가격 X만큼이 되도록)을 무위험채권으로 보유하고 있는 포지션 (Long C + Long X/(1+R)^T)

Protective Put 과 Fiduciary call의 payoff는 동일해서 둘 전략은 같은 가격이어야 함!

T=t	T=T		T=t	T=T
	S_T ≥ X	S_T＜ X		S_T ≥ X	S_T＜ X
Protective Put			Fiduciary Call
Long S	S_T	S_T	Long C	Max[0, S_T-X] = S_T-X	Max[0, S_T-X] = 0
Long P	Max[0, X-S_T] = 0	Max[0, X-S_T] = X-S_T	Long X/(1+R)^T	X	X
Payoff	S_T	X	Payoff	S_T	X
관계식의 성립 : Protective Put = Fiduciary Call S+P = C+X/(1+R)^T

 

- 위의 Put-Call Parity를 이용하여 유러피언 옵션의 가치를 계산할 수 있다.

<합성포지션(Synthetic Position)> 
- 서로 다른 금융상품들을 결합하여 새로운 형태의 금융상품 포지션으로 합성이 가능(다만, 옵션은 모두 유러피언 형식, 만기와 행사가격이 다 같아야 함)

• Synthetic Put : P = C-S+X/(1+R)^T
• Synthetic Call :  C = S+P-X/(1+R)^T
• Synthetic Stock :  S = C-P+X/(1+R)^T
• Synthetic Bond :  X/(1+R)^T = S+P-C
  
  

<Put-Call-Foward Parity>
- F0(T) = S0*(1+R)^T이므로 S0 = F0(T)/(1+R)^T 를 풋콜패리티에 대입하면 Forward에 대한 것도 합성포지션이 가능하다.
- Put-Call-Forward Parity : P0+F0(T)/(1+R)^T = C0 + X/(1+R)^T
<-> P0 - C0 = [X-F0(T)]/(1+R)^T

<옵션평가모형을 활용한 기업가치 측정>
- 기업가치(Firm Value; V), 채권자가치(Debt holder; D), 주주가치(Equity holder; E)

주주가치(E) = V-D  if, V > D
                    = 0      if, V < D
=> 주주가치(E) = MAX[0, V-D] = Long call
 : 기업가치를 기초자산, D를 행사가격으로 하는 Call option으로 주주가치 측정 가능

* Equity는 잔여재산에 대한 청구권이므로 잔여재산 <0 주주들에게는 남는것x 0, > 0 (잔여재산이 남으면) + => 옵션이랑 비슷함

채권자가치(Debt holder, D) = D  if V >D
                                          = V   if V < D
  => 채권자가치(D) = D - MAX[0, D - V] = Risk-free bond that pays D + short put 

 - 위와 같이, 주주가치와 채권자가치를 옵션평가모형을 활용하여 측정 가능

 

11. Boundary Condition

   ① 유러피언 옵션(European option)

옵션의 t시점의 가격

• 옵션은 내재가치와 시간가치로 구성되어 있음.
• 옵션의 가치는 내재가치보다는 크거나 같아야 한다. (시간가치는 0보다 크므로 *예외적인 상황 제외)
  
• 유러피언 콜옵션(C_0,E)의 Lower boundary : C0E ≥ MAX[0, S0 - X/e^RT]   *연속복리
• 유러피언 풋옵션(P_0,E)의 Lower boundary : P0E ≥ MAX[0,  X/e^RT-S0]   *연속복리

 

 ② 아메리칸 옵션 (American option)

• American option = MAX [①European option, ②Early exercise option]
• 아메리칸 콜옵션(C_t,A) : 유러피언 콜옵션과 Lower bound가 동일
  ▶ C_t,E ≥ MAX[0, St - X/e^R(T-t)]  & 조기상환옵션 = MAX[0, St-X]
  ▶  St- X/e^R(T-t) > St-X 이므로 C_t,A  ≥ MAX[0, St - X/e^R (T-t) ]  (유러피언 콜옵션과 동일)
  
• 아메리칸 풋옵션(P_t,A) : 유러피언 풋옵션과 동일하지 x 
  ▶ P_t,E ≥ MAX[0,  X/e^R(T-t)-St]  & 조기상환옵션 = MAX[0, X-St]
  ▶ X/e^R(T-t) - St < X - St 이므로 P_t,A  ≥ MAX[0, X-St] (유러피언 풋옵션과 동일X)
  

Option	Minimum Value	Maximum value
European Call	C_t,E ≥ MAX[0, St-X/e^R(T-t)]	St
American Call	C_t,A ≥ MAX[0, St-X/e^R(T-t)]	St
European Put	P_t,E ≥ MAX[0, X/e^R(T-t)- St]	X/e^R(T-t)
American Put	P_t,A ≥ MAX[0, X - St]	X

 

 

12.  이항모형 (Binomial Tree Model)

• Option Valuation Model or Option Pricing Model (OPM)
  ① Black-Sholes Formula
  ② Binomial Tree Model (CFA lv1 : One-Period Binomial Tree Model)
  ③ Monte-Carlo Simulation
  
  
• Binimial Tree Model
   - 기초자산의 수익률이 이항분포를 따른다고 가정 : 1기간 후의 주가는 일정한 비율로 상승하거나 일정한 비율로 하락

S0 = $50, Su = $60, Sd = $42, u = 1.2, d=0.84, X = $55, Rf = 3%
기초자산	$50	Su = S0*u = $50 * 1.2 = $60
		Sd = S0*d = $50*0.84 = $42
헷지 포트폴리오 Short Call + h*Long Stock	V0 = -C0+hS0	Vu = -Cu + h*Su = - MAX[0, Su-X] + h*Su = -5 + h*60
		Vd = - Cd + h*Sd = -MAX[0, Sd-X] + h*Sd = 0 + d*42

 => 헷지포트폴리오 : Vu = Vd  -> -5 + 60h = 42h -> h= 0.278 일때 Vu=Vd=$11.68
  V0 = -C0+hS0 이므로 대입하면 C0의 가격을 구할 수 있다. -> V0 = 11.68/(1.03) = -C0+0.278*50  -> C0 = $2.56

** h : Hedge Ratio ( = Option's Delta) : Call option은 기초자산인 주가가 움직일 때, Delta만큼 가격이 변동하는 민감도를 가지고 있다. 따라서 기초자산을 h개만큼 보유하고 있으면 Short call의 손익과 주식의 손익이 상쇄되어 무위험 포트폴리오 구축이 가능하다.

• 이항모형 with risk-neutral probability of an up-move or a down-move
  U : 주가상승률 
  D : 주가하락률 = 1/U
  πu : 위험 중립가정 하의 상승확률 
  πd : 위험 중립가정 하의 하락확률 (= 1 - πu)
  * 이 확률은 실제 확률이 아님 (These two probabilities are not the actual probabilities of the up and down moves.
  They are risk-neutral pseudo probabilities.)
  
  
• S0 = [(S0*U)* πu + (S0*D)* πd ] / (1+Rf) =>    πu = (1 + Rf - D )/ (U-D)
  
• One-period binomial model for valuing an option : 확률 필요없음. (상승, 확률일때의 Payoff정보만 필요)
• One-period binomial model based on risk neutrality  (no-arbitrage relationship을 쓰기 때문에 위험중립확률이 필요)
   - the value of an option = a probability-weighted average of two possible outcomes. 
   - 옵션가격에 미치는 것은 Rf (Risk free rate)과 Volatility (Ru - Rd = difference between the up and down gross returns)
   - 변동성이 커질수록 옵션가격은 올라간다 (콜, 풋 모두)
  
  * 문) When using a one-period binomial model to price a call option, an increase in the actual probability of an upward move in the underlying asset will result in the call option price?
  
   답) 실제 확률은 Call option price에 아무런 영향을 미치지 않는다! (staying the same)