양파여사네 경제이야기

* 알아두어야할 단어

• exercise prcie = strick prcie (행사가격)
• breakeven point(BEP) - 손익분기점
• Moneyness(가격도) : 옵션 계약의 기초자산가격과 행사가격과의 관계를 의미
  
• lower bound(하한범위), upper bound(상한범위)
• parity (등가식, 항등식)
• Protective Put = Long S + Long Put
  
• Fiduciary Call = Long Call + Long risk-free bond
• Coverd Call = Long S + Short Call

LOS 55.a : exercise value, moneyness, time value of an option.

1. 옵션계약 (Options)
- 특정자산을 미래의 특정 시점 또는 그 이전에 약정된 가격으로 살 수 있는 권리(Call) 혹은 팔 수 있는 권리(Put)

2. 옵션의 구성항목 
 ① 기초자산(Underlying asset; S) : 권리행사 시 매수 또는 매도의 대상이 되는 특정자산
 ② 만기(Expiration date; T) : 권리를 행사할 수 있는 특정시점 혹은 일정기간의 마지막 날
 ③ 행사가격(Exercise price; X) : 권리를 행사할 때 적용되는 가격
 ④ 콜옵션(Call option; C) : 살 수 있는 권리,  풋옵션(Put option; P) : 팔 수 있는 권리
 ⑤ 옵션프리미엄(Option premium) : 옵션을 매입할 때 지불하는 비용 (권리이기 때문에 옵션을 매입할 때에는 비용이 발생)
 ⑥ 포지션(Position) : 투자자의 현재상태
   - 매입포지션(Long position) : 프리미엄을 지불하고, 옵션을 매입한 사람
   - 매도포지션(Short position) : 프리미엄을 받고, 옵션을 매도한 사람.
  
3. 옵션 vs. 선도계약의 비교

4. 풋옵션 vs 콜옵션

- PUT 이랑 CALL이 손익이 zero sum이 아니라, 롱/숏 포지션이 zero sum (long call과 shor call의 손익이 zero sum) 
=> Long position과 Short position의 페이오프(payoff)는 정확히 반대!
=> 콜옵션과 풋옵션의 페이오프는 정반대가 아님 주의!

- A put option gives the buyer the right (but not the obligation) to sell underlying assets at a specified price (=the excercise price = strike price) & The put seller (=writer of the option) takes on the obligation to purchase the underlying assets at the price specified in the option, if the put buyer excercises the option.

- A call option gives the buyer the right (but not the obligation) to buy underlying assets at a specified price(the exercise price) & The call seller (writer) takes on the obligation to sell the underlying assets at the exercise price, if the call buyer exercises the option.
- Payoff : 옵션프리미엄(초기비용)을 고려하지 않은 개념. ** 옵션프리미엄은 t=0시점에서 발생한 매몰비용(sunken cost)로, t=T시점에서의 옵션의 행사여부에 영향을 주지 않음! (이미 돈을 만원 주고 복권을 샀다고 하자, 5천원이 당첨됐는데 당청금 수령을 안한다?이미 준 만원으로 손익은 -5천원이어도 무조건 당청금은 일단 수령해야지(매몰비용은 행사여부에 영향x)!)
- P/L(손익; Profit/Loss) = Payoff ± 옵션프리미엄

 * The breakeven point(BEP) for the buyer and seller is the excercise price plus the premium.(X+P) (call)
** The breakeven point(BEP) for the buyer and seller is the excercise price minus the premium.(X-P) (put)

5. 행사방법에 따른 분류
  ① 유러피안 옵션 (European options) : 옵션의 만기(At expriation)에 한 번만 행사 가능
  ② 아메리칸 옵션 (Americal options) : 옵션의 만기일을 포함하여 언제든지(at anytime) 행사 가능 -> 한번 행사 하면, 옵션은 소멸
 
* 아메리칸 옵션 보유자의 선택권

• 유러피언 옵션 : 옵션을 만기에도 행사할 수 있음
• 조기행사 옵션 (Early excercise option) : 만기 이전에도 옵션을 행사할 수 있음.
  
• 아메리칸 옵션 보유자는 2가지 옵션을 모두 보유하고 있으므로, 2개의 옵션 중 큰 값이 아메리칸 옵션의 가치임.
  Americal option = Max [①European option, ②Early exercise option]
  ** American option value ≥ European option value
  
  

6. Moneyness(가격도) : 옵션 계약의 기초자산가격과 행사가격과의 관계를 의미(주가(S)와 행사가격(X)의 관계)

7. 옵션의 현재시점의 가치 

옵션의 가치 = 내재가치(Intrinsic value) + 시간가치(Time value)

 ① 옵션의 내재가치(Intrinsic value)
  - 현재 시점에서 옵션이 행사된다고 가정했을 때 얻게되는 가치 (=기초자산의 현재가격과 행사가격의 차이)
  

• 콜옵션의 내재가치 = Max[St-X, 0]
• 풋옵션의 내재가치 = Max[X-St, 0]
  

② 시간가치(Time value) : 옵션의 만기까지 기초자산 가격 변화에 따라 이익을 얻을 수 있는 가능성에 대한 가치
  * American은 시간가치가 양수지만, European은 Negative time value도 가능함 유의!!

   -  OTM에서 the price of option = time value (intrinsic value=o 이므로)

   -  ITM에서 the price of option > time value (intrinsic value>o 이므로)

8. ★ 옵션가격과 변수와의 관계★
- 옵션가격

* 변동성이 커질수록 행사할 가능성이 높아지므로, 콜옵션 풋옵션 가격이 높아진다는 것 유의하기!!

9. 옵션가치와 잔존만기
  - 잔존만기가 길어지면, 일반적으로 옵션의 가치는 커진다. (Time value의 증가)
  * but, ① 배당주식에 대한 유러피언 콜옵션(배당으로 인한 배당락) , ② Deep ITM 유러피언 풋옵션 (업사이드의 제한)

   <콜옵션> 
    - 일반적으로는 잔존만기가 길수록 콜옵션의 가치가 커진다. (call option's upside potential : unlimited)
    - 배당이 지급되는 주식이 기초자산인 유러피언 콜옵션일 경우, 예외일 수 있음.

• 기초자산으로부터 배당금(Dividends)이 지급되는 경우
• 잔존만기 증가에 따른 옵션가치의 하락폭(배당락) > 시간가치의 상승폭
• 아메리칸 옵션의 경우 위의 상황이 예상된다면, 조기행사하면 되므로 유러피언 콜옵션에 한정됨.

 <풋옵션> 
    - 일반적으로는 잔존만기가 길수록 풋옵션의 가치가 커진다. (put option의 upside는 S=0인경우)
    - Deep ITM 유러피언 풋옵션의 경우에는 예외일 수 있음.

• Deep ITM인 경우 풋옵션의 Upside는 극히 제한적
• 이 경우 만기가 짧은 것이 유리할 수 있음. (만기가 길 경우, 주가가 다시 상승할 수도 있으므로)
   -> 행사가격 100, 주가 1인 경우  Upside potential은 1% 밖에 안됨.
• 아메리칸 풋옵션은 만기가 길수록 풋옵션의 가치가 커지고, Deep ITM이라면 풋옵션을 조기행사하면 된다.
  

10. 풋-콜 패러티 (Put-Call Parity) *Parity - 등가식, 항등식

 -  기초자산(S), 만기(T), 행사가격(X)이 동일한 유러피안 콜옵션과 풋옵션 가격 사이에 성립하는 일정한 관계식
 - ★ 유러피언 콜옵션과 풋옵션의 경우에만 성립한다!(아메리칸 옵션에는 성립하지 않음. 만기에서만 행사하는 경우를 가정하기때문)

Protective Put = Fiduciary Call
  Long S               Long C
+ Long Put         +Long X/(1+R)^(T)

• Protective Put (소유한 자산의 손실을 방지하기 위해 풋옵션을 매수하는 전략)
  - 기초자산(S)을 매입하고, 풋옵션(P)를 매수하는 포지션(Long S + Long P) 
  - 기초자산 가격 하락 위험을 헷지하기 위해 풋옵션을 매수하는 포지션
  
  
• Fiduciary Call (Protective Put 전략을 대체하는 전략)
   - 콜옵션(C)를 매수하고, 콜옵션 행사에 필요한 금액(=만기에 받는 금액이 행사가격 X만큼이 되도록)을 무위험채권으로 보유하고 있는 포지션 (Long C + Long X/(1+R)^T)

Protective Put 과 Fiduciary call의 payoff는 동일해서 둘 전략은 같은 가격이어야 함!

- 위의 Put-Call Parity를 이용하여 유러피언 옵션의 가치를 계산할 수 있다.

<합성포지션(Synthetic Position)> 
- 서로 다른 금융상품들을 결합하여 새로운 형태의 금융상품 포지션으로 합성이 가능(다만, 옵션은 모두 유러피언 형식, 만기와 행사가격이 다 같아야 함)

• Synthetic Put : P = C-S+X/(1+R)^T
• Synthetic Call :  C = S+P-X/(1+R)^T
• Synthetic Stock :  S = C-P+X/(1+R)^T
• Synthetic Bond :  X/(1+R)^T = S+P-C
  
  

<Put-Call-Foward Parity>
- F0(T) = S0*(1+R)^T이므로 S0 = F0(T)/(1+R)^T 를 풋콜패리티에 대입하면 Forward에 대한 것도 합성포지션이 가능하다.
- Put-Call-Forward Parity : P0+F0(T)/(1+R)^T = C0 + X/(1+R)^T
<-> P0 - C0 = [X-F0(T)]/(1+R)^T

<옵션평가모형을 활용한 기업가치 측정>
- 기업가치(Firm Value; V), 채권자가치(Debt holder; D), 주주가치(Equity holder; E)

주주가치(E) = V-D  if, V > D
                    = 0      if, V < D
=> 주주가치(E) = MAX[0, V-D] = Long call
 : 기업가치를 기초자산, D를 행사가격으로 하는 Call option으로 주주가치 측정 가능

* Equity는 잔여재산에 대한 청구권이므로 잔여재산 <0 주주들에게는 남는것x 0, > 0 (잔여재산이 남으면) + => 옵션이랑 비슷함

채권자가치(Debt holder, D) = D  if V >D
                                          = V   if V < D
  => 채권자가치(D) = D - MAX[0, D - V] = Risk-free bond that pays D + short put 

 - 위와 같이, 주주가치와 채권자가치를 옵션평가모형을 활용하여 측정 가능

11. Boundary Condition

   ① 유러피언 옵션(European option)

• 옵션은 내재가치와 시간가치로 구성되어 있음.
• 옵션의 가치는 내재가치보다는 크거나 같아야 한다. (시간가치는 0보다 크므로 *예외적인 상황 제외)
  
• 유러피언 콜옵션(C_0,E)의 Lower boundary : C0E ≥ MAX[0, S0 - X/e^RT]   *연속복리
• 유러피언 풋옵션(P_0,E)의 Lower boundary : P0E ≥ MAX[0,  X/e^RT-S0]   *연속복리

 ② 아메리칸 옵션 (American option)

• American option = MAX [①European option, ②Early exercise option]
• 아메리칸 콜옵션(C_t,A) : 유러피언 콜옵션과 Lower bound가 동일
  ▶ C_t,E ≥ MAX[0, St - X/e^R(T-t)]  & 조기상환옵션 = MAX[0, St-X]
  ▶  St- X/e^R(T-t) > St-X 이므로 C_t,A  ≥ MAX[0, St - X/e^R (T-t) ]  (유러피언 콜옵션과 동일)
  
• 아메리칸 풋옵션(P_t,A) : 유러피언 풋옵션과 동일하지 x 
  ▶ P_t,E ≥ MAX[0,  X/e^R(T-t)-St]  & 조기상환옵션 = MAX[0, X-St]
  ▶ X/e^R(T-t) - St < X - St 이므로 P_t,A  ≥ MAX[0, X-St] (유러피언 풋옵션과 동일X)
  

12.  이항모형 (Binomial Tree Model)

• Option Valuation Model or Option Pricing Model (OPM)
  ① Black-Sholes Formula
  ② Binomial Tree Model (CFA lv1 : One-Period Binomial Tree Model)
  ③ Monte-Carlo Simulation
  
  
• Binimial Tree Model
   - 기초자산의 수익률이 이항분포를 따른다고 가정 : 1기간 후의 주가는 일정한 비율로 상승하거나 일정한 비율로 하락

 => 헷지포트폴리오 : Vu = Vd  -> -5 + 60h = 42h -> h= 0.278 일때 Vu=Vd=$11.68
  V0 = -C0+hS0 이므로 대입하면 C0의 가격을 구할 수 있다. -> V0 = 11.68/(1.03) = -C0+0.278*50  -> C0 = $2.56

** h : Hedge Ratio ( = Option's Delta) : Call option은 기초자산인 주가가 움직일 때, Delta만큼 가격이 변동하는 민감도를 가지고 있다. 따라서 기초자산을 h개만큼 보유하고 있으면 Short call의 손익과 주식의 손익이 상쇄되어 무위험 포트폴리오 구축이 가능하다.

• 이항모형 with risk-neutral probability of an up-move or a down-move
  U : 주가상승률 
  D : 주가하락률 = 1/U
  πu : 위험 중립가정 하의 상승확률 
  πd : 위험 중립가정 하의 하락확률 (= 1 - πu)
  * 이 확률은 실제 확률이 아님 (These two probabilities are not the actual probabilities of the up and down moves.
  They are risk-neutral pseudo probabilities.)
  
  
• S0 = [(S0*U)* πu + (S0*D)* πd ] / (1+Rf) =>    πu = (1 + Rf - D )/ (U-D)
  
• One-period binomial model for valuing an option : 확률 필요없음. (상승, 확률일때의 Payoff정보만 필요)
• One-period binomial model based on risk neutrality  (no-arbitrage relationship을 쓰기 때문에 위험중립확률이 필요)
   - the value of an option = a probability-weighted average of two possible outcomes. 
   - 옵션가격에 미치는 것은 Rf (Risk free rate)과 Volatility (Ru - Rd = difference between the up and down gross returns)
   - 변동성이 커질수록 옵션가격은 올라간다 (콜, 풋 모두)
  
  * 문) When using a one-period binomial model to price a call option, an increase in the actual probability of an upward move in the underlying asset will result in the call option price?
  
   답) 실제 확률은 Call option price에 아무런 영향을 미치지 않는다! (staying the same)
   

* 알아두어야할 단어

• Offsetting (청산매매) = Reverse Trade (반대매매)
• Marking to Market (MTM) - 시가평가를 의미
• Interest rate futures (금리선물)  - 선물시장 내 금리 혹은 채권을 기초자산으로 하는 선물계약을 의미
• Basis Point Value (BPV) : 시장금리(MRR)가 1bp 움직일 때, 금리선물 1계약의 가치변동분을 의미
  
• zero rate = spot rate (현물금리)
• par swap rate = 스왑계약의 고정금리

LOS 53.a : 선도계약과 선물계약의 가치평가 비교

* 선도계약과 선물계약의 가장큰 차이는 Margin call 

1. 선물계약 (Futures Contracts)

• 미래의 특정 시점에 특정 기초자산을 미리 정한 가격으로 매매하기로 약정하는 계약 (선도계약의 정의와 동일)
• 거래조건(기초자산, 만기일 등)을 규격화 한 후 거래소에 상장시켜 거래하는 형태의 선도계약을 선물계약이라고 한다.
  

• 선물계약의 주요 특성
  ① 거래소 (Exchange) : 선물거래시장은 정형화되고, 조직화되고 규격화된 시장 (KRX, CBOT, CBOE)
  ② 청산소(Clearing House)  *한국은 거래소와 청산소가 같은데, 두개가 다른 곳인 나라도 있음.
    - 모든 선물거래 상대방이 됨으로써 선물 거래의 이행을 보증하고, 선물거래의 손익을 정산해주는 기관
    - 선물거래는 청산소의 이행보증 덕에 거래상대방위험(Counterparty risk)이 없음.
  ③ Novation : 사적계약을 거래소와의 계약으로 갱신함. 
  

  

• 정산가격(Settlement price) = ST (선물계약의 만기일에 선물계약을 정산할 때 사용하는 현물가격, 만기일 종가)
  ▷  (Long Position) Payoff = ST- FP 
  ▷  (Short Position) Payoff = - (ST- FP)
  * FP = S0*(1+Rf)^(T)로 선도계약과 Pricing 식은 동일함.
  
  
• Offsetting or Reverse Trade 
  - 선물계약은 만기에 정산하지 않고, Offsetting trade(청산매매, 반대매매)를 통하여 거래를 청산할 수 있음.
  - Offsetting Trade : 만기 이전에 처음 선물 거래와 반대 포지션의 거래를 통하여 최초 선물 거래를 청산하는 것.
  
  
• 선물시장 참여자
  - Hedgers : 현물가격의 가격 변동위험을 관리하기 위해 선물시장에 참여하는 사람 (헤지목적)
  - Speculators : 현물을 보유하지 않은 상태에서 산물시장에만 참여하는 사람 (선물가격의 방향성에 Betting)
  
  
• 일일정산 (Daily Settlement), Marking to Market (MTM)
  - 일일정산 : 선물가격 변화에 의한 손익을 매일매일 정산하여 증거금 계좌 (Margin account)에 반영
  - Daily Settlement와 MTM을 혼용하여 사용.
  
  
• 증거금제도(Margin Account) => 레버리지를 가능하게 한다!
  - Performance guarantee(계약이행보증금) : 선물계약 당사자가 계약을 이행하지 않을 수 있는 위험을 대비하기 위해 거래소가 징수하는 계약이행보증금
   - Initial Margin(개시증거금) :  선물거래를 시작하기 위해 납부해야하는 증거금
   - Maintenance Margin (유지증거금) : 거래를 지속하기 위해 반드시 유지해야하는 증거금 
   - Variation Margin (변동증거금, 추가증거금) : 거래자의 증거금이 유지증거금 이하로 감소하였을 경우, 증거금을 *개시증거금 수준으로 올리도록 추가적인 증거금의 적립을 요구함 (Margin call)  
  
  * 유지증거금 수준이 아니라 개시증거금수준으로 올려야 하는 것에 유의 (주식계좌는 유지증거금까지, 파생은 개시증거금까지 채워넣어야 함)
  
  
• Price Limits (1일 가격 변동한도) - 거래소에서 부과하는 선물계약의 일일변동 폭
  - Limit Up : 일일변동할 수 있는 상한 가격
  - Limit Down : 일일변동 할 수 있는 하한가격
  - Limit Move : 상한 가격과 하한가격 사이의 제한된 움직임
  
  
• CCP (Central Counterparty) - OTC거래에서 거래상대방 간 정산업무를 수행할 수 있도록 지정한 기관(선물의 청산소, 거래소와 유사한 역할)
   - OTC거래에서의 Counterparty risk를 통제하기 위해, 담보(Collateral)를 관리하는 것이 일반적.
  
  
• 금리선물(Interest rate Futures)
  - 기초자산을 금리(이자율) 또는 채권으로 하는 선물 계약 (MRR or T-bonds)  *채권도 금리선물이라고 칭함)
  - 금리선물의 표준화된 거래형태
    ⓐ 결제방식 : 현금정산 (Cash Settlement)
    ⓑ  ★ 가격공시 방식 ★ (그냥 외우기)
  

           ===> Futures price = 100 - Annualized MRR in percent
          - (ex) 6개월 후 6개월 짜리 금리를 기초자산으로 하는 Futures price = 97, F(6m, 6m) = MRR(6m, 6m) = 3%에 거래한다는 것.

• Basis Point Value (BPV) : 시장금리(MRR)가 1bp 움직일 때, 금리선물 1계약의 가치변동분을 의미
   - BPV  = notional principal * period * 0.01% 
   - one basis point change in the MRR will change the future contract value by BPV.
  
  * 선물계약은 가격변동이 Linear하게 일어남 -> 원금 $1 milion, 6-month MRR = 2.5%, FP = 97.5라고 하자.
     BPV = $1,000,000 * 0.0001(1bp) * 1/2 = $50 
   ==> 1bp가 오르든 내리든 선물계약 가치 변동은 $50
  
   * 반면에 선도계약의 가치변동은 Convex하다 (금리오르면 변동폭 감소, 하락하면 변동폭 증가)
    > 1bp상승 시 FRA payoff = (0.01%)*$1milion*(6/12)/(1+2.51%/2) = 50/(1+2.51%/2) = $49.3803
    > 1bp하락 시 FRA payoff = (-0.01%)*$1milion*(6/12)/(1+2.49%/2) = 50(1+2.49%/2) = -$49.3852
  

  

  

  ==> 위와 같이 선물과 선도가치가 기간이자율이 길어질 수록 커지는 것을 Convexity Bias라고 한다.
  (The convexity of forwards is termed convexity bias and forwards and futures prices can be significantly different for longer-term interest rates.)
  * MRR이 떨어지는 경우가 올라갈때보다 가격차이의 정도가 큼
  
  
  
• 선물 및 선도계약의 비교 - 일일정산에 따른 차이
  - 일일정산 후 선물가격은 종가로 변경됨.
  - 선물은 일일정산 후 Initial Margin에 대한 초과금액은 인출하고 재투자할 수 있음.
  

<선물금리> 계약의 경우에는 이자율이 일정하거나 이자율과 선물가격에 상관관계가 없다면, 선도계약이나 선물계약이나 동일함.

- A positive correlation between interest rates and the futures price means that (for a long position) daily settlement provide funds (excess margin) when rates are high and they can earn more interest, and requires funds (margin deposits) when rates are low and opportuinity cost of deposited funds is less. (Futures가 이론적으로 더 매력적)
 > 정리 <
ⓐ Corr(이자율, 선물가격) = 0 → Futures나 Forward나 무차별 (동일)
ⓑ Corr(이자율, 선물가격) > 0 →  선물가격 오르면 예치금이나 재투자 이자 더 받고, 내리면 자금 조달비용이 적게드므로
    Futures > Forward (선물 선호)
ⓒ Corr(이자율, 선물가격) < 0 →  선물가격 오른 경우 더 낮은금리이자, 하락하면 조달금리 비용 상승으로 
    Futures  < Forward (선도 선호)

LOS 54.a : 스왑계약의 가격결정, 가치평가 

• Forward Contracts Pricing : 선도가격을 결정하는 프로세스
  - V0(T) = 0이 되도록 하는 F0(T) <- No arbitrage Forward Price
  
  
• Swap Contracts Pricing : 스왑계약의 고정금리(Swap-fixed rate)을 결정하는 프로세스
  - V0(T)=0이 되도록 하는 Swap Fixed Rate의 결정 (똑같이 No-arbitrage Pricing)
  - 변동금리의 현재가치와 고정금리의 현재가치가 동일하도록 고정금리를 산정함 = Par Swap Rate(F)
  - Spot Curve와 동일한 하나의 금리(Par Swap rate)을 산출하는 것이 Swap Contracts Pricing이다!
     ∑PV(Pay amount) = ∑PV(Recive amount) 
   * FRA로 Replication할 수 있는데, 다만 스왑의 V0(T)=0을 만들기 위한 각각의 복제된 FRA 가치는 0이 되지 않을 수 있다.
     (합쳐야 0이됨)
  

       F = Par Swap Rate = fixed rate payment   = the price of a fixed-for-floating interest-rate swap *최초에 정해짐

    MRR = forward day rates implied by the spot rates
      S = current effect spot rates for each period. (zero rate라고도 한다)

** The price of a fixed-for-floating interest-rate swap is specified in the swap contract.
** 고정금리 수취 포지션을 취할 시 이는 채권 long position과 같으므로 포트폴리오의 duration 상승 가능.

* 알아두어야할 단어

• Arbitrage (차익거래)
  
• No-arbtitrage forward price = Theoratical price = F0(T)  *무차익거래 조건의 선도가격
• Discrete Compounding (이산복리) & Continuous compounding (연속복리)
• Price currency (자국통화), Base currency(외국통화 - 거래의 기준이 되는 통화)
  
  
  

LOS 51.a : Arbitrage and replication

<Arbitrage>

• 차익거래(Arbitrage) - 추가적인 비용이나 위험부담 없이, 이익을 얻고자하는 거래
  (Arbitrage refers to a transaction in which an investor purchases one asset or portfolio of asstes at one price and simultaneously sells an asset or portfolio of assets that has the same future payoffs, regardless of future events, at a higher price, realizing a risk-free gain on the transaction)
  
  
• 선도˙선물계약(Forwards or Futures)에서 '미래에 매매하기로 하는 약정하는 가격'을 정할 때, 미래에 매매할 선도가격(Forward contract price)은 차익거래가 발생하지 않을 가격으로 결정됨 (No arbitrage Forward Price)
  => 동일한 상품이 서로 다른 두 개의 시장에서 거래되는 가격이 다를 경우, 가격이 저렴한 시장에서 그 상품을 매입하고, 동시에 가격이 비싼 시장에서 매도하면 추가적인 위험 부담없이 이익을 얻을 수 있으므로 (Buy Low and Sell High) 시장 사이에 발생한 일시적인 가격 불균형은 차익거래(arbitrage)에 의하여 균형상태로 회귀한다
  
  
• 일물일가의 법칙(The law of one price)
  - 두 개의 자산이 동일한 위험과 동일한 현금흐름을 가지고 있다면 가격이 동일해야 함.
  - 일물일가의 법칙이 성립하지 않는 상황에서는 이론적으로 차익거래가 가능하다
  
  *다만, 거래비용이 존재하는 경우 거래비용보다 작은 차익거래가 가능한 상황은 지속될 수 있다. (작은 가격차이는 가능할 수 있음)
  
  
• 기초자산매입 + 선도계약 매도 → 선도계약 만료일까지 기초가격의 변동에 영향 받지 않는 무위험 결합포트폴리오 구성 가능
  Risky Asset + (Hedged) Derivative = Risk-free Asset
  
• t=0 (현재) t=1(미래) F0(1) = 선도계약 가격, S0= 현재 시점의 현물가격(spot price), S1 = 미래시점의 현물가격(0시점에서 알수 없음)
  > 포트폴리오1
      t=0 시점 : 5% 무위험 할인채 구입, 만기 t=1에 F0(1)만큼 지급받음 + 만기에 F0(1)을 지급하고 주식을 매수하는 선도계약 체결
      t=1 시점 : 만기에 F0(1)받은 돈으로 선도만기금액을 지급하고 주식을 받아 S1에 매도
  
  > 포트폴리오2 
     t=0 시점 : S0에 주식 구입 (S0 = $30), 주식1년간 보유
     t=1 시점 : 1년 후 보유했던 주식을 S1에 매도
  
  포트폴리오1의 현금흐름 :  t=0) -F0(1)/1.05 (5%할인채 구입비용)  t=1) +F0(1)-F0(1)+S1 = S1
  포트폴리오2의 현금흐름 :  t=0) -S0  t=1) +S1
  

포트폴리오1과 2사이에 일물일가의 법칙이 성립하기 위해서는 F0(1)/1.05 = S0 = 30이 성립해야함. 따라서 F0(1) = 31.5
식을 정리하면 아래와 같다. 

No Arbitrage Forward Price = Theoratical Price (이론가격) : F0(T) = S0(1+Rf)^(T)

Market Price = 선도가격의 실제 시장가격, 이론가격과 다를 수 있음. 

위의 식을 성립하는 선도가격을 Theoratical Price (TP), 실제 시장의 선도가격을 Market Price (MP)라고 하자. 

ⓛ IF TP > MP (선도 저평가), Long Forward, Short Stock방식으로 차익거래 가능
     => (현물)매도차익거래 (Reverse cash and carry arbitrage)

② IF TP < MP (선도 고평가), Short Forward & Long Stock방식으로 차익거래 가능 
    => (현물)매수차익거래 (Cash and carry arbitrage)

• When the forward price is "too high" , the arbitrage is to sell the forward and buy the underlying asset.
  When the forward price is "too low", the arbitrage is to buy the forward and sell (short) the underlying asset.

<Replication>

• Replication refers to creating a portfolio with cash market transactions that has the same payoffs as a derivative for all possible future values of the underlying.
  
  
• 기초자산매입 + 선도계약 매도 → 선도계약 만료일까지 기초가격의 변동에 영향 받지 않는 무위험 결합포트폴리오 구성 가능
  Risky Asset + (Hedged) Derivative = Risk-free Asset
  => 현물자산 + 파생상품을 활용하여 무위험자산 "복제(Replication)"가 가능
  
  

<보유비용 모형 (Cost of Carry Model)>

- 선도가격(F0(T))의 결정 : t=0시점에서의 Pricing 
  위의 예시에서처럼 현물거래를 무위험 결합포트폴리오로 복제하여 무차익거래 조건의 선도가격을 구할 수 있음.

- Cost of Carry Model 

 1) 가정
   ① 무위험이자율(Rf)로 차입이나 대출 가능 (Risk-neutral 가정)
 * 특정 Payoff와 똑같은 포트폴리오를 만들기 위함 (Derivatives pricing models use the risk-free rate to discount future cash flows because these models are based on portfolios with certain payoffs)
   ② 공매 (Short-selling)에 대한 제한이 없음
   ③ 세금과 거래비용이 없음 (No tax, No transaction cost)

• 선도가격 = ⓐ 현물가격 + ⓑ 현물을 만기까지 보유하는데 필요한 비용

• t= T 시점에 현물자산을 보유하기 위해서는
      위의 포트폴리오2처럼 현물자산 매입하여 보유하기
      아니면 포트폴리오1처럼 계약의 만기가 T시점인 선도계약을 매수하는 것

2) 보유비용 (Cost of Carry)
   : 차입하여 매입 시는 대출에 따른 이자비용(Rf) 혹은 자기자본으로 매입 시 기초자산 매입에 따른 기회비용(Rf)

* 이 식의 의미 : The arbitrage-free forward price equals the future value of the current spot price.
* 이산복리 시 S0*(1+Rf), 연속복리 시 지수함수로 표현됨.

3) 추가 보유비용 혹은 보유편익이 있는 경우

• 선도가격 = ⓐ 현물가격 + ⓑ 기회비용(무위험이자율) + ⓒ 추가비용 - ⓓ 보유편익

* 비용은 추가, 편익은 차감하면 됨.
   ① 기초자산이 금융자산(Financial Asset)으로 이자, 배당이 발생하는 경우 보유편익이 발생
   ② 기초자산이 원자재(Commodity)인 경우에는, 원자재 보유 및 보관에 따른 창고료, 보험료 등의 보관비용(Storage Costs),
        혹은 현물 보유자에게 비금전적인 혜택(Convenience Yield)이 발생할 수도 있음. 
     ▶ Convenience Yield : 원자재 부재 시에 발생하는 불편과 비능률을 제거하는 이익 등의 비금전적인 편익
       (현물자산을 보유하고 있어 갑작스러운 Shortage에 대응할 수 있는 편익 등
        주로 Sell short(공매)이 어려운 경우, 갑작스러운 Shortage에 매도하여 이익을 얻을 수 있는 편익이 발생)

* r = annual risk free rate with continuous compounding.
* Costs of holding an asset increase its no-arbitrage forward price.
* Benefits of holding an asset decrease its no-arbitrage forward price.
* Convenience yield = a non-cash benefit associated with owning an underlying physical commodity that arises under certain economic conditions.
  

다 짬뽕해서 합치면 

   r = 무위험 이자율, c = 보관비용, q = 배당률, y = convenience yield라고 하자. (연속복리 가정)
그러면 무차익거래 선도가격 F0(T)의 값은

다만 주의할 점은 r, c, q, y를 %로 계산했다가는 틀려버린다.
S0 = 100, r = 3%, q = 1.3%, T=1 라고 하자. 
r= 3, q= 1.3을 넣어버리면 F = 547.39 라는 말도안되는 숫자가 나온다.
r = 0.03, q = 0.013을 넣고 계산해야 한다!  F = 101.714 라는 값이 나온다.

< 보유비용 모형의 응용 - 선도환율의 계산>
- 선도환율 역시 같은 No-arbitrage 조건을 이용하는 IRP (Interest Rate Parity)를 사용하여 구할 수 있다.

 1) 기초자산 (Underlying asset) = 외국통화 (Foreign Currency)

 2) 환율표시방법 
    - 직접표시법 : 외국통화 한 단위의 가치를 자국통화로 표시 ($1 = 1,350원)
    - 간접표시법 : 자국통화 한 단위의 가치를 외국통화로 표시 (1원 = $1/1350)
* 보통 선진국들이 간접표시법으로 개발도상국이 직접표시법으로 표기함 (CFA는 미국기준으로 생각하기)

 3) 현물환거래(Spot Trade) : 외환의 즉각적 인도(D+2일 결제까지)를 조건으로 하는 거래 (현물환율 적용)
 4) 선도환거래(Forward Trade) : D+2 이후를 결제일로 하는 외한거래 (선도환율 적용) 
 5) 선도환율의 결정 - IRP (Interest Rate Parity)
  - 현물환율 = S, 선도환율 = F, 자국통화(USD, Price Currency), 외국통화 (EUR, Base Currency), 자국금리 = Rp, 외국금리 = Rb
  - (간접표시 이므로) 자국통화 -> 외국통화 환전 시 1/S적용, 외국통화 -> 자국통화 환전시 S를 곱함 (1유로 = 1.06$ = S)

> IRP가 성립하려면 ⓐ = ⓑ, F(t=0 시점에서의 선도금리) 가격을 구할 수 있다!!

 * S = 직접표시 = USD / EUR임을 유의하자! *분모에 있는 통화를 p로 표기
 * The forward exchange rate depends on the spot exchange rate and the difference between the interest rates on the base and price currencies. 

< 요약 >
1) 선도가격 Pricing 

2) 선도환율 Pricing

3) 선도계약의 복제 = 무위험이자율로 자금 차입해서 T시점에 현물 매수

* 알아두어야할 단어

• Derivative(파생상품)
• underlying asset(기초자산)
• Firm Commitment (확약인수) = Bilateral Obligation(쌍방의무) = Forward Commitments (선도확약)
  => 선도, 선물, 스왑 등이 해당
• Contingent Claims(조건부 청구권) = Unilateral Obligation(일방의무) => 옵션이 해당
• Settlement date (결제일) = maturity date(만기일) 
   * Settlemnt involves the payment of final amounts and/or delivery of securities or physical commodities
• ETD (Exchange-traded derivatives) - 장내 파생상품  <-> OTC (Over-the counter Derivatives) - 장외 파생상품
• deliverable (실현가능한) => deliverable contract (실현계약) = Physical contract(실물인수도)
• cash-settled contract (차액결제) = NDF (Non Deliverable Forward)
• counterparty (거래상대방)
• Central Clearing House(CCH; 청산소)  & Central counterparty(CCP; 장외시장의 청산소) & Swap execution facility(SEF; 스왑시장의 청산소)
   * Clearing is the process of verifying the execution of a transaction, exchange of payments, and recording the
     participants.
• Stand-alone (독립적인) 
  * an investor entering into the SIXV derivative on a stand-alone basis (독립적으로 SIXV파생상품에 들어가는 투자자들)
  
  
  
  LOS 48.a : 파생상품의 정의와 기초 특성

• Derivative(파생상품) - 기초자산의 가격 움직임에 의해 그 가치가 결정되는 금융상품
  - Security that derives its value form the value of another security or a variable at some specific future date (referred as the underlying for the derivative)
  - A financial contract that derives its value from the performance of an underlying asset, which may represent a firm commitment or a contingent claim.
  
  
• Unerlying asset(기초자산) :  Stock, Bond, Index, FX, Interest rate, Commodities, Credit 등
  * MRR (market reference rate) : the most common interest rate underlying used in interest rate swaps.
  * Commodities 
     - soft commodities : agricultural products (ex. cattle and corn)
     - hard commodities : natural resources (ex. crude oil and metals)
   * 직원들에 대한 보상을 위해 사용되기도 함 (stock option 혹은 warrant 등) 
  
  
• Firm Commitment (확약인수) = Bilateral Obligation(쌍방의무) = Forward Commitments (선도확약)
  => 선도, 선물, 스왑 등이 해당
  - 사기로 한 사람은 반드시 미리 약정한 가격으로 사야하고, 팔기로 한 사람은 반드시 미리 약정한 가격으로 팔아야 함.
  - 서로 쌍방 모두 의무를 가짐.
  
• Contingent Claims(조건부 청구권) = Unilateral Obligation(일방의무) => 옵션 CDS(신용부도스왑)이 해당
  - 옵션 매수자는 권리만 가지고 있으며, 옵션을 행사하거나 하지않을 수 있는 조건부 청구권이 있으며,
    옵션 매도자는 옵션행사에 응해야 할 의무만을 가지고 있음.
  
  
• 파생상품이 거래되는 시장 (장내 vs. 장외)
  ⓛ ETD(Exchange-traded derivatives) - 장내시장/ 표준화, 규격화된 시장(유동성, 투명성 높음, 거래상대방위험 낮음)
     : standardized contracts traded on an organized exchange, which requires collateral on deposit to protect against counterpary default. (formal, standardized)
   - 거래소는 청산소(Central Clearing House)라는 기관을 두어, 모든 계약의 거래상대방이 되게 하고 계약의 이행을 보증하게 함.
   * CCH - credit risk 관리, systemic risk를 감소시킴.
  
  ② OTC (Over-the-counter derivatives) - 장외시장 / 커스텀 편의성 (유동성, 투명성 낮음, 거래상대방위험 낮음)
   : derivative markets involve the initiation of customized, flexible contracts between derivatives end users and financial intermediaries.
  - 거래상대방이 계약을 이행하지 않을 위험이 있음 (거래상대방위험 - counterparty risk)
  
  
• 파생상품의 결제방식 ( 실물인수  vs. 차액결제)
  ⓛ Deliverable contract (=Physical delivery) - 실물인수도 방식
   - the payment and the shares must be exchanged at the settement date.
  
  ② Cash settled contract(=Non deliverable forward (NDF)) - 차액결제 방식
  - only the gains and losses from the forward contract are exchanged at settlement.
  
  

LOS 50.a : 파생상품의 장단점

• 장점(Advantages of derivatives)
  ⓛ 위험관리 및 배분 (Ability to change rise allocation, transfer risk and manage risk)
     - 전통적인 금융자산이 가지고 있는 위험을 제거할 수 있음 ("헤지 hege")
      - Derivatives allow market participants to allocate, manage, or trade exposure without exchanging an underlying in the cash market.
  
  ② 가격 및 변동성에 대한 정보제공(Information discovery) -> 'Pricing'
    - 파생상품은 미래시점에 대한 균형가격 정보, 시장에 내재되어 있는 변동성 등에 대한 정보 제공
    - 선물/선도 : 미래 균형가격에 대한 정보 제공 (Expected future spot price)
    - 옵션 : 변동성에 대한 정보 제공 (Implied volatility)
  
   ③ 운영적인 이점(Operation advantages)
     (1) Ease of short sales - 포지션의 방향성이 용이하다, 매도포지션 구축 용이
     (2) Lower transaction cost - 거래비용의 절감 (거래비용, 현물 보관비용,보험료 등 비용절감 가능)
     (3) Greater leverage - 레버리지 포지션 구축 가능
     (4) Greater liquidity - 장내시장의 경우 유동성이 매우 높다.
  
   ④ 시장의 효율성 향상 (Improved Market efficiency)
    - 파생상품을 이용한 차익거래(Arbitrage) 수행으로 시장효율성(Market efficiency) 제고 가능.
  
  
• 단점 (Risks)
  ⓛ Implicit Leverage - 레버리지 효과로 예상치 못한 높은 리스크 실현할 수 있음.
  
  ② Basis Risk - 현물·선물가격의 차이 리스크 (현물가격의 변동금액과 선물가격의 변동금액이 일치하지 않는 리스크)
    * 파생상품을 이용한 hedge는 가격리스크를 베이시스 리스크로 전환하는 것.
    * basis risk - potential divergence between the expected value of a derivative versus an underlying or hedged transaction.
    - basis risk aries when the underlying of a derivative differs from a postion being hedged with the derivative.
  
  ③  Liquidity Risk - 일시적인 자금부족으로 정해진 결제시점에서 결제의무를 이행하지 못할 위험
    * 선물의 경우 일일정산과정에서의 마진콜로 인한 유동성 위험에 노출될 수 있음.
    * Liquidity risk - potential divergence between the cash flow timing of a derivative versus an underlying or hedged transaction.
  
  ④ Counterparty risk (거래상대방 위험) - 파생상품 거래의 상대방이 선도계약에 대한 의무를 이행하지 않을 위험
    * option의 경우 Long position의 경우만 거래상대방 위험이 있으나,  Forward는 롱/숏 모두 노출 가능
    * counterparty risk - potential for a derivatives contract participant to fail to meet their obligations under an agreement.
  
   ⑤ System risk (시스템리스트) - 파생상품은 거래규모가 크고 다양한 파생상품거래가 서로 간에 복잡하게 얽혀있어, 특정 거래상대방 위험이 발생할 경우 리스크의 확대 및 전염(contagion)이 가능함.
  
  

LOS 50.b : 파생상품의 투자기관 (issuer, investors)

• 일반기업 : 대부분 다양한 헷지를 목적으로 하는 경우가 많음.
  
• ★ 헷지회계(Hedge accounting)
  - Fair Value Hedge (공정가치위험회피) - 기업의 자산, 부채의 공정가치 변동 위험을 헷지 
    *현물의 가격변동을 당기순이익에 반영하여 현물과 선물의 가격변동을 상계
    * offsets fluctuation in faif value of an asset or liability
  
  - Cash Flow Hedge (현금흐름위험회피) - 기업이 가지고 있는 거래의 미래 현금흐름 변동 위험을 헷지
   * 선물의 가격변동을 당기순이익에 반영하지 않을 수 있음.
   * absorbing the variable cash flow of a floating rate asset or liability
  
   - Net investment hedge : 해외사업장의 순자산에 대하여 위험을 회피하고자 파생상품 이용
   * designated as offsetting the FX risk of the equity of a foreign operation. (Currency swap, Currency forward)
  
  
• 금융기관 : 일반적으로 리스크 배분 목적으로 활용
   ⓛ 매매목적 - to increase the return of the fund 
   ② 헷지목적 - to offset or hedge the fund's value against adverse movements in underlyings such as exchange rates, interest rates, and securities markets.
  
  
• Issuer (파생상품 발행자)가 파생상품을 이용하는 이유 - 기초자산의 시장 익스포져를 헷징하기 위해
  - Issuers predominantly use derivatives to offset or hedge market-based underlying exposures incidental to their commercial operations and financing activites.
  
• Investors(투자자들)가 파생상품이용하는 이유 -  현물시장에서 어려운 투자나 자금헷징을 위해
  - Investors use derivatives to replicate a cash market strategy, hedge a fund's value against adverse movements in underlyings, or modify or add exposures using derivatives, which in some cases are unavailable in cash markets.
    (ETD에서 거래 많이함)